就人類整體而言，思想是不斷進步的，后人的認識通常會超越前人，我們對零的認識也是如此。20 世紀 70 年代或 80 年代開始讀書的朋友必定都記得，當時的數(shù)學課講自然數(shù)，都從 1 開始，1 是最小的自然數(shù)?，F(xiàn)在的孩子上小學，數(shù)學老師卻會告訴他們，最小的自然數(shù)是0。短短幾十年，從“零不是自然數(shù)”到“零是最小的自然數(shù)”，人們的認識又有了一個飛躍。
零是數(shù)字，零是整數(shù)，我們受過基礎(chǔ)教育，覺得這些認識都很自然。零居然是自然數(shù)，這個認識就顯得不那么自然。我們平常數(shù)數(shù)，數(shù)某種事物有多少，不都是從1 開始嗎？沒見過從0 開始數(shù)的。如果哪位指著一堆蘋果開始數(shù)：“0、1、2、3、4……”大概會有人覺得他不正常。
1889 年，意大利數(shù)學家朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano，1858 年—1932 年） 提出五條公理，可用文字描述如下：
公理 1：1 是自然數(shù)；
公理 2：每個確定的自然數(shù) a，后面都有一個確定的相鄰數(shù) a′，a′也是自然數(shù)；
公理 3：1 不是任何自然數(shù)后面的相鄰數(shù)；
公理 4：不同自然數(shù)擁有不同的相鄰數(shù)；
公理 5：任意關(guān)于自然數(shù)的命題，如果能證明該命題對 1 為真，并且它對自然數(shù) a 為真時可證明它對 a′也為真，那么這個命題就對所有自然數(shù)為真。
這五條公理稱為“皮亞諾公理”，其中第一條、第三條和第五條公理，都不假思索地認定 1 是最小的自然數(shù)。將皮亞諾公理運用于當時的數(shù)學體系，嚴絲合縫，堪稱數(shù)學大廈的一塊基石。
皮亞諾為數(shù)學大廈提供基石的同時，別的數(shù)學家也在為數(shù)學大廈添磚加瓦。19 世紀末，就在皮亞諾提出五條公理不久以后，數(shù)學的一大分支“群論”發(fā)展到關(guān)鍵時期，一些數(shù)學家用群論這把利器重新解剖整數(shù)和自然數(shù)，發(fā)現(xiàn)了一個非常危險的破綻：如果不把零放進自然數(shù)群，整數(shù)群就會變得不完整。所以，為了能讓數(shù)學體系互不矛盾、自成邏輯，為了保證整個數(shù)學大廈固若金湯、堅不可摧， 這些數(shù)學家就讓零加入自然數(shù)家族，成為最小的自然數(shù)。
進入 20 世紀，有的數(shù)學教材把零當成自然數(shù)，有的數(shù)學教材堅持零不是自然數(shù)，時間越往后，認可零是自然數(shù)的教材就越多。在歐美數(shù)學界，主流意見都認為零是自然數(shù)。所以在 1993 年，中國國家技術(shù)監(jiān)督局修訂“量和單位”的國家標準，規(guī)定零是自然數(shù)。于是乎，我們的數(shù)學教材隨之修改。于是乎，00 后新生代在零的認識上與國際接軌，70 后與 80 后家長被甩在后面。于是乎，爸爸媽媽們輔導小朋友數(shù)學作業(yè)時，會有這樣的對話：
“寶貝，最小的自然數(shù)是 1，你這道題寫錯了。”
“沒有錯，老師今天剛講過，零也是自然數(shù)！”
家長不信，一查教材，果然！大惑不解：“咦，是不是印錯了？”而看過本書的爸爸媽媽就不會有這樣的困惑。
在本章最后，讓我們再溫習幾點關(guān)于零的知識。
- 最小的自然數(shù)是0 不是1；
- 最小的個位數(shù)是1 不是0；
- 0 不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是唯一的中性數(shù)；
- 0 是偶數(shù)；
- 0 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；
- 任何數(shù)加減0，值不變；
- 任何數(shù)與0 相乘，積為0；
- 任何不是0 的數(shù)的0 次方都是1；
- 0 不能作除數(shù)，任何數(shù)除以0，都沒有數(shù)學意義；
- 0 是十進制位值數(shù)中唯一的占位符，表示該數(shù)位為空；
- 0 可以表示起點，例如直尺的起點刻度線都是0；
- 0 可以用于編號，例如001、002……
- 0 可以表示界限，例如0 度以上、0 度以下……
