我們宇宙的“可知性”有一個基本限制，海森堡不確定性原理告訴我們，當(dāng)我們試圖更精確地確定一個屬性，它對應(yīng)的屬性就越難以確定。簡而言之，完全知道一個粒子的位置意味著它的速度是不可知的。更進(jìn)一步來說，未測量的屬性不僅是不確定的，而且根本上是未定義的，這方面最深刻的例證之一是著名的雙縫實驗。

一個粒子，比如一個光子或一個電子，穿過一個包含兩個狹縫的屏障到后面的屏幕。它的初始位置和最終位置是已知的，但它之間的路徑是什么？它穿過哪個狹縫？只有當(dāng)它們中的每一個都穿過兩個狹縫時，才能解釋由屏幕上的粒子產(chǎn)生的干涉圖案。不過此時我們不能把它當(dāng)作粒子，而是作為填充中間空間的波，穿過一個狹縫的波的振幅與穿過另一狹縫的波的振幅相加來計算屏幕上粒子的位置。

一個學(xué)生問：“如果在屏障上切第三條縫會發(fā)生什么？”顯然，我們必須將穿過所有三個狹縫的波的振幅加在一起。那個學(xué)生繼續(xù)問道：“但如果屏障上有四個、五個縫，甚至是無限的縫，連屏障都沒有了，那應(yīng)該怎么辦呢？”沒錯，那個學(xué)生就是理查德·費曼，他剛剛概述了量子力學(xué)路徑積分公式的基礎(chǔ)知識。這是一個簡單的想法，但它導(dǎo)致了有史以來最優(yōu)雅的量子力學(xué)公式，并成為量子場論的關(guān)鍵。

最小作用原理

這個想法本質(zhì)上是這樣的：要知道粒子在兩點之間傳播的可能性，我們需要考慮所有可能發(fā)生的方式。雙縫實驗是一個特例，我們只考慮兩種可能的路徑。但是，當(dāng)某物穿過空曠的空間時，它就像是穿過無數(shù)個有無限狹縫的屏障，有無限可能的路徑。而費曼想出了一種方法來組合無限路徑，以給出一個粒子到達(dá)其最終目的地的非常真實、有限的概率。

他的訣竅是將傳播所花費的時間切成小間隔，并在每個時間步長上讓粒子在空間中采取任何可以想象的直線步長。這給出了一組從起始點到終點的路徑，其中一些看起來很正常，但大多數(shù)都是荒謬的。例如，有些路徑會繞圈或繞道到達(dá)宇宙的邊緣。

路徑積分公式的驚人之處在于，費曼添加了一個且只有一個物理量原理，那就是“最小作用原理”。它指出，一個對象將始終遵循作用量最小化的路徑。這個作用量很難定義，它與路徑上動能和勢能之間的傳遞以及行程時間成正比。對于大尺度經(jīng)典宇宙，最小化時間可以推導(dǎo)出幾乎所有運(yùn)動方程。然而，在量子宇宙中，沒有單一的路徑，費曼轉(zhuǎn)而使用量子作用來為單個粒子可以采取的每條無限路徑分配一個重要性——權(quán)重。然后，利用微積分的奇跡，他能夠?qū)⑺羞@些無限可能路徑的貢獻(xiàn)加起來，以找到一個粒子從起點到終點進(jìn)行簡單旅行的概率。

費曼的路徑并不是每個都有單獨的概率發(fā)生。相反，每條路徑都為整個旅程貢獻(xiàn)了我們所說的概率幅度。薛定諤的波函數(shù)和費曼的路徑積分描述了這個概率幅度的東西。概率幅度是我們所說的復(fù)數(shù)，我們可以將每條路徑的概率幅度想象成一個二維空間中某個長度和方向的箭頭。每個箭頭的總長度給出了該路徑的概率，但是要獲得粒子從起點到終點的總概率，需要將所有可能路徑的概率幅度箭頭首尾相連。連接該鏈的起點和終點的箭頭長度表示所有路徑的總概率。

從無限到有限

現(xiàn)在，當(dāng)費曼用這個作用量計算出他無限路徑的概率幅值時，神奇的事情發(fā)生了。所有瘋狂的路徑都相互抵消，只有最明智的路徑——那些作用量最少的路徑，才顯著增加了概率。大尺度經(jīng)典世界中熟悉的路徑只是不相互抵消的一小部分無限可能路徑。

費曼的路徑積分公式使他能夠從零開始推導(dǎo)出薛定諤方程。路徑積分方法在數(shù)學(xué)上等同于量子力學(xué)的早期推導(dǎo)，而且比量子力學(xué)的早期推導(dǎo)更強(qiáng)大。這種力量來自最小作用原理，該作用量是穿過時空的粒子路徑的函數(shù)。這意味著它對稱地對待空間和時間，因此與愛因斯坦的狹義相對論相匹配。

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來源：萬象經(jīng)驗

原標(biāo)題：費曼路徑積分

編輯：Paarthurnax