第六章 符號(hào)運(yùn)算

1.53 符號(hào)對(duì)象

1.符號(hào)數(shù)值、變量和表達(dá)式的創(chuàng)建方法

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

sym、syms

3.說(shuō)明

符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱

符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱引入了一種特殊的數(shù)據(jù)類(lèi)型 – 符號(hào)對(duì)象

該數(shù)據(jù)類(lèi)型包括符號(hào)數(shù)字，符號(hào)變量，符號(hào)表達(dá)式和符號(hào)函數(shù)，還包含符號(hào)矩陣及上述變量組成的符號(hào)數(shù)組。

符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱提供求解、繪圖和操作符號(hào)數(shù)學(xué)方程的功能

4.實(shí)例演示

%1_53%freexyn1/6 %雙精度浮點(diǎn)型1/6，在Matlab中使用小數(shù)表達(dá)x=sym(1/6) %創(chuàng)建符號(hào)變量，分?jǐn)?shù)形式表達(dá)class(x) %測(cè)試x類(lèi)型為符號(hào)對(duì)象sin(pi) %對(duì)雙精度浮點(diǎn)pi值求sin值，有舍入誤差sin(sym(pi)) %對(duì)符號(hào)對(duì)象數(shù)值pi求sin值，完整表達(dá)%% 創(chuàng)建符號(hào)變量sym(‘x’) %方法1syms x %方法2 聲明后可直接使用，無(wú)輸出結(jié)果，但工作區(qū)會(huì)存儲(chǔ)syms x y zsym(‘x’,[1 5]) %方法1的形式也可賦值多個(gè)符號(hào)變量，并自動(dòng)編號(hào)%% 創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式f=2*x+1g=x*y+z

1.54 符號(hào)函數(shù)和符號(hào)矩陣

1.符號(hào)函數(shù)和符號(hào)矩陣的創(chuàng)建和應(yīng)用

2.說(shuō)明

符號(hào)函數(shù)和符號(hào)矩陣的用法與常規(guī)的矩陣和函數(shù)相同，差異在于處理的數(shù)據(jù)類(lèi)型不同，用符號(hào)對(duì)象運(yùn)算時(shí)，需要首先聲明符號(hào)對(duì)象。

3.實(shí)例演示

%1_54syms x %聲明符號(hào)對(duì)象xf=2*x+1 %符號(hào)表達(dá)式f(x)=2*x+1 %符號(hào)函數(shù)f(1) %結(jié)果是符號(hào)對(duì)象3，與雙精度3不同syms f(x,y) %直接創(chuàng)建（聲明）沒(méi)有函數(shù)表達(dá)式的函數(shù)f(x,y) %調(diào)用f(1,2) %運(yùn)算結(jié)果%% 符號(hào)矩陣syms a b c d %聲明符號(hào)變量A=[a b;c d] %符號(hào)矩陣，結(jié)果每行用中括號(hào)單獨(dú)表達(dá)B=[a 1;c 3] %混合類(lèi)型符號(hào)矩陣sum(A) %符號(hào)矩陣運(yùn)算，與常規(guī)矩陣算法相同sum(B)sym(‘x’,[2 2]) %創(chuàng)建2行2列矩陣，自動(dòng)添加下標(biāo)sym(‘x%d%d’,[2 2]) %分別引用2個(gè)下標(biāo)sym(‘x%d2018%d’,[2 2]) %2個(gè)下標(biāo)中間添加數(shù)字%% 普通矩陣轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣C=hilb(3) %創(chuàng)建3階希爾伯特矩陣sym(C) %轉(zhuǎn)化為符號(hào)矩陣

1.55 基本運(yùn)算

1.符號(hào)對(duì)象的算術(shù)運(yùn)算、關(guān)系運(yùn)算和邏輯運(yùn)算

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

isAlways %判斷符號(hào)表達(dá)式是否為真

3.說(shuō)明

符號(hào)對(duì)象的基本代數(shù)運(yùn)算與浮點(diǎn)型數(shù)據(jù)的運(yùn)算大體相同

4.實(shí)例演示

%1_551+1sym(1)+1syms a b x %聲明符號(hào)變量a+1a+bf=a+b+1f+xg(x)=a*x+b %函數(shù)運(yùn)算g(10)m=[a b;b a] %符號(hào)矩陣運(yùn)算m+1m.*2 %每個(gè)元素都乘2m*m %矩陣乘法%% 關(guān)系運(yùn)算1<2 %浮點(diǎn)型關(guān)系運(yùn)算返回邏輯值sym(1)<2 %先轉(zhuǎn)換為符號(hào)型再運(yùn)算，返回符號(hào)型表達(dá)式isAlways(sym(1)<2) %用符號(hào)表達(dá)式的判斷函數(shù)，返回邏輯值a<b %未知參數(shù)關(guān)系運(yùn)算f=a=0)isAlways(abs(a)*abs(b)>=abs(a*b))isAlways(abs(a)>=0 | 1>2) %第一項(xiàng)為真，取或運(yùn)算后，結(jié)果為真isAlways(abs(a)>=0 & 1>2) %結(jié)果為假a | ba & b

1.56 使用假設(shè)

1.符號(hào)變量使用假設(shè)

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

設(shè)置assume

添加assumeAlso

顯示assumptions

3.說(shuō)明

在符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱中，符號(hào)變量默認(rèn)是復(fù)數(shù)變量

若要運(yùn)算中不使用全體復(fù)數(shù)域，可以為變量添加假設(shè)指定范圍

可以通過(guò)假設(shè)設(shè)置變量屬于集合：整數(shù)、正數(shù)和實(shí)數(shù)

4.實(shí)例演示

%1_56%作者：freexynsyms xassumptions(x) %x不存在假設(shè)，屬于復(fù)數(shù)域assume(x>=0) %設(shè)置假設(shè)assumptions(x) %查看假設(shè)% assume(x<=5)% assumptions(x) %會(huì)覆蓋前面假設(shè)內(nèi)容assumeAlso(x<=5) %追加假設(shè)assumptions(x)%% 設(shè)置x屬于集合assume(x,'integer') %假設(shè)x屬于整數(shù)assumptions(x)assume(x,'positive') %假設(shè)x為正數(shù)assume(x,'real') %假設(shè)x屬于實(shí)數(shù)assumptions(x)%% 符號(hào)變量聲明時(shí)同時(shí)設(shè)置假設(shè)sym('x')sym('x','real') %創(chuàng)建（聲明）符號(hào)變量并假設(shè)屬于實(shí)數(shù)assumptions(x)syms y positive %另一方法，創(chuàng)建（聲明）符號(hào)變量并假設(shè)屬于正數(shù)assumptions(y)assumptions %不給定參數(shù)時(shí)，會(huì)顯示所有假設(shè)%% 設(shè)置假設(shè)的用法solve(y+1==0,y) %solve函數(shù)用來(lái)解方程，solve(x+1==0,x)

1.57 清除假設(shè)

1.清除假設(shè)和重置符號(hào)引擎

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

reset

3.說(shuō)明

符號(hào)變量和它們的假設(shè)是分開(kāi)存儲(chǔ)的

符號(hào)引擎工作空間通常是空的，Matlab工作空間記錄符號(hào)變量并在需要時(shí)把他們傳遞到符號(hào)引擎工作空間進(jìn)行計(jì)算

符號(hào)引擎空間存儲(chǔ)了所有的關(guān)于符號(hào)變量的假設(shè)，這些假設(shè)會(huì)影響方程的求解、化簡(jiǎn)和變換

清除變量和清除假設(shè)是兩個(gè)過(guò)程，運(yùn)算結(jié)束后注意清除假設(shè)

4.實(shí)例演示

%1_57syms x y z positive %假設(shè)不存在工作區(qū)中，而在符號(hào)引擎工作空間中assumptions %查看所有假設(shè)whos %查看所有變量clear x %清除變量x，并不會(huì)清除掉假設(shè)assumptionswhos% assume(x,’clear’) %清除假設(shè)：變量x是訪問(wèn)和調(diào)用x假設(shè)的橋梁，變量若被清除了，則無(wú)法訪問(wèn)或清除假設(shè)syms x %重新聲明假設(shè)xassume(x,’clear’)assumptionswhosassume([x y],’clear’) %可同時(shí)清除多個(gè)假設(shè)，以數(shù)組形式assumptionsreset(symengine) %重制符號(hào)引擎工作空間：清理所有符號(hào)假設(shè)assumptions

1.58 可變精度算術(shù)

1.可變精度算術(shù)的應(yīng)用

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

vpa

3.說(shuō)明

默認(rèn)的，Matlab雙精度浮點(diǎn)數(shù)使用16位數(shù)字精度

而符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱的vpa函數(shù)，提供了無(wú)限大的可變精度

它默認(rèn)使用32位數(shù)字精度，32位指的是有效數(shù)字的位數(shù)

4.實(shí)例演示

%1_58pi %默認(rèn)雙精度浮點(diǎn)型pi值，16位精度，默認(rèn)short格式小數(shù)點(diǎn)后4位vpa(pi) %pi轉(zhuǎn)換為可變精度數(shù)值，32位精度vpa(pi)+1 %先轉(zhuǎn)換為可變精度數(shù)值再運(yùn)算vpa(pi,100) %通過(guò)輸入第2個(gè)參數(shù)指定精度vpa(sqrt(2),100)%% 讓整個(gè)運(yùn)行環(huán)境使用可變精度digits %獲取當(dāng)前運(yùn)行環(huán)境的精度i=digits(100) %設(shè)置運(yùn)行環(huán)境精度100，i返回設(shè)置前的精度值digitsvpa(pi) %顯示pi的可變參數(shù)值，已變?yōu)?00位vpa(pi)+1digits(32)digitsvpa(pi)

1.59 運(yùn)算精度的選擇

1.分別在以下三種算術(shù)條件下求sin(pi)的值

符號(hào)運(yùn)算

可變精度運(yùn)算

雙精度浮點(diǎn)型運(yùn)算

2.說(shuō)明

2.1 符號(hào)算術(shù)

默認(rèn)的，符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱使用確切的數(shù)字，進(jìn)行精確的符號(hào)計(jì)算

2.2 可變精度算術(shù)

是符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱的功能，是符號(hào)計(jì)算的近似數(shù)值計(jì)算

通過(guò)控制數(shù)值顯示的有效位數(shù)實(shí)現(xiàn)可變精度

默認(rèn)32位，運(yùn)算速度稍快，內(nèi)存消耗量依賴(lài)于設(shè)定的精度

2.3 雙精度浮點(diǎn)數(shù)算術(shù)

雙精度浮點(diǎn)運(yùn)算就是常規(guī)的Matlab數(shù)值計(jì)算

有舍入誤差，精確到16位精度，運(yùn)算速度最快，內(nèi)存消耗最少

3.實(shí)例演示

%1_59a=sym(pi) %符號(hào)型sin(a)b=vpa(pi) %可變精度型sin(b)c=pi %雙精度sin(c)

1.60 數(shù)值型的轉(zhuǎn)換

1. 符號(hào)型和數(shù)值型之間的轉(zhuǎn)換

2.說(shuō)明

符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱允許實(shí)現(xiàn)符號(hào)對(duì)象和常規(guī)Matlab數(shù)據(jù)類(lèi)型的轉(zhuǎn)換（如數(shù)值、字符等）

也可以借助符號(hào)變量的精度控制方法實(shí)現(xiàn)高精度的數(shù)值計(jì)算

數(shù)值型轉(zhuǎn)換成符號(hào)型用sym，返回?cái)?shù)值表達(dá)式的有理近似值

轉(zhuǎn)換的原理是，通過(guò)匹配p/q, pπ/q, (p/q)^1/2,2^q和10^q（其中p和q是中等大小的整數(shù)）這樣的形式來(lái)修正舍入誤差（符號(hào)型為精確值）

3.實(shí)例演示

%1_600.3 %雙精度sym(0.3) %轉(zhuǎn)化為符號(hào)型sym(0.333333333333333333333333333) %轉(zhuǎn)化為符號(hào)型a=1/6 %取小數(shù)后4位sym(a)a=pi/6sym(a)a=3^(1/3) %開(kāi)立方近似值sym(a) %轉(zhuǎn)換成符號(hào)型時(shí)，無(wú)法將近似值轉(zhuǎn)換成精確值的a=3^(1/2) %開(kāi)平方近似值sym(a) %可以轉(zhuǎn)換成符號(hào)型，常規(guī)近似值能夠精確轉(zhuǎn)換回去sym(0.333333333333333333333333333) %轉(zhuǎn)回符號(hào)型1/3sym(‘0.333333333333333333333333333’) %變?yōu)榉?hào)型sym(‘x’) %上式形式類(lèi)似于創(chuàng)建符號(hào)變量

1.61 查找符號(hào)變量

1.查找符號(hào)變量

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

symvar

3.說(shuō)明

在符號(hào)表達(dá)式、符號(hào)函數(shù)和符號(hào)矩陣中查找符號(hào)變量

symvar函數(shù)自動(dòng)把查找到的符號(hào)變量按字母順須排列并輸出

如果不是查找所有符號(hào)變量，那么靠近字母x的變量?jī)?yōu)先查找

特別的，對(duì)于符號(hào)函數(shù)，作為函數(shù)輸入?yún)?shù)的符號(hào)變量?jī)?yōu)先查找

大多應(yīng)用在當(dāng)沒(méi)有指定運(yùn)算變量時(shí)，用于確定默認(rèn)符號(hào)變量

4.實(shí)例演示

%1_61%freexynsyms a b n t x yf=sin(a*x+b)+x^n+log(y) %符號(hào)表達(dá)式symvar(f) %查找函數(shù)表達(dá)式f中的符號(hào)變量symvar(f,1) %優(yōu)先查找靠近x的符號(hào)變量symvar(f,2) %查找2個(gè)符號(hào)變量f(t)=sin(a*t+b)+x^n+log(y) %符號(hào)函數(shù)symvar(f) %優(yōu)先查找自變量，然后，查找靠近x的變量symvar(f,1)symvar(f,2)m=[a b n;t x y] %符號(hào)矩陣symvar(m)symvar(m,2) %查找2個(gè)靠近x的變量

1.62 變量替代

1.符號(hào)變量的代入和替代

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

subs

3.說(shuō)明

把符號(hào)變量替代為數(shù)值

把符號(hào)變量替代為矩陣

替換符號(hào)矩陣中的元素

4.實(shí)例演示

%1_62syms x yf=x+ysubs(f,x,1) %將符號(hào)表達(dá)式f中變量x替換為1subs(f,y,2)subs(f,1) %符號(hào)表達(dá)式f中默認(rèn)符號(hào)變量替換為1，默認(rèn)符號(hào)變量即x，或者靠近x最近的變量subs(f,x,y) %x替換為ysubs(f,[x y],[1 2]) %將x和y分別替換成1和2subs(f,x,[1 2]) %x替換為矩陣[1 2]m=[x y x;y x y] %2行3列的符號(hào)變量m(1,3)=sym(‘a’) %下標(biāo)索引替換法subs(m,x,sym(‘a’)) %x替換為asubs(m,m(1,1),sym(‘a’))subs(m,x,x^2+x+1+y) %將x替換為符號(hào)表達(dá)式subs(m,x,[2*x 2*y])

1.63 長(zhǎng)表達(dá)式的縮寫(xiě)

1.長(zhǎng)表達(dá)式的縮寫(xiě)

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

pretty

subexpr

3.說(shuō)明

長(zhǎng)表達(dá)式可能含有多個(gè)相同的子表達(dá)式

可以把這樣的子表達(dá)式替換并縮寫(xiě)

pretty使用內(nèi)部算法來(lái)選擇要縮寫(xiě)的子表達(dá)式，可以嵌套縮寫(xiě)

subexpr函數(shù)只做一個(gè)子表達(dá)式的縮寫(xiě)，它不支持嵌套縮寫(xiě)

它默認(rèn)使用變量sigma來(lái)縮寫(xiě)子表達(dá)式

4.實(shí)例演示

%1_63syms xs=(sqrt(5)+x)/2pretty(s)ss=(s^2+s+1)*(s^2+s-1)/((s^2-s-1)*(s^2-s+1)^2)pretty(ss) %嵌套縮寫(xiě)，將表達(dá)式中重復(fù)出現(xiàn)的子表達(dá)式縮寫(xiě)并拎出說(shuō)明，子表達(dá)式符號(hào)無(wú)法更改[s1,t]=subexpr(ss,’t’) %嵌套縮寫(xiě)，返回表達(dá)式名稱(chēng)可指定，且是單行表達(dá)

1.64 符號(hào)函數(shù)繪圖

1.簡(jiǎn)單介紹符號(hào)函數(shù)、方程和表達(dá)式的繪圖方法

2.認(rèn)識(shí)函數(shù)

fplot

3.實(shí)例演示

%1_64% fplot(@sin) %函數(shù)句柄調(diào)用% fplot(sin) %直接傳遞函數(shù)名，報(bào)錯(cuò)% fplot(sin(x)) %函數(shù)名傳入自變量，報(bào)錯(cuò)%%Matlab是一個(gè)綜合運(yùn)行環(huán)境，上述為Matlab中基礎(chǔ)工作模塊中的函數(shù)%% 符號(hào)函數(shù)工具箱中，也有fplot% Matlab會(huì)根據(jù)輸入數(shù)值類(lèi)型區(qū)別調(diào)用工具箱，輸入數(shù)值型會(huì)調(diào)用基礎(chǔ)模塊，輸入符號(hào)型調(diào)用符號(hào)函數(shù)工具箱syms xfplot(sin(x)) %符號(hào)工具箱中可以直接調(diào)用函數(shù)名稱(chēng)fplot(exp(x))fplot(sin(x)+x^4*log(x))fplot(sin(x)+x^4*log(x),[0 10]) %第二個(gè)參數(shù)指定繪圖范圍% f=x^2+x+1 %符號(hào)表達(dá)式% fplot(f) %傳入符號(hào)表達(dá)式繪圖f(x)=x^2+x+1 %符號(hào)函數(shù)fplot(f) %傳入符號(hào)函數(shù)繪圖

（本章結(jié)束，本書(shū)結(jié)束）

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整理/注釋?zhuān)喉n松岳（郵箱：[email protected]）

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附本書(shū)相關(guān)鏈接：

Matlab基礎(chǔ)入門(mén)手冊(cè)（第一章 入門(mén)）

Matlab基礎(chǔ)入門(mén)手冊(cè)（第二章 矩陣）

Matlab基礎(chǔ)入門(mén)手冊(cè)（第三章 運(yùn)算符）

Matlab基礎(chǔ)入門(mén)手冊(cè)（第四章 數(shù)據(jù)類(lèi)型）

Matlab基礎(chǔ)入門(mén)手冊(cè)（第五章 函數(shù)/腳本）

【本文】Matlab基礎(chǔ)入門(mén)手冊(cè)（第六章 符號(hào)函數(shù)）

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