教學(xué)實(shí)踐中數(shù)學(xué)建模應(yīng)用的疑惑
《普通高中信息技術(shù)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出：計(jì)算思維是指?jìng)€(gè)體運(yùn)用計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的思想方法，在形成問(wèn)題解決方案的過(guò)程中產(chǎn)生的一系列思維活動(dòng)。這一系列的思維活動(dòng)包括界定問(wèn)題、抽象特征、建立結(jié)構(gòu)模型、合理組織數(shù)據(jù)等操作。可見，建模是形成解決方案所產(chǎn)生的一系列思維活動(dòng)中的重要環(huán)節(jié)之一。
模型是對(duì)事物原型進(jìn)行模擬或抽象后形成的在某些方面不失真的近似反映。模型可分為對(duì)真實(shí)事物按比例縮放的直觀模型、知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)存儲(chǔ)于人腦中的思維模型、用符號(hào)語(yǔ)言抽象描述事物特征及關(guān)系的符號(hào)模型等，不同學(xué)科也會(huì)用不同模型來(lái)描述并解決學(xué)科問(wèn)題，如數(shù)學(xué)模型、計(jì)算模型、經(jīng)濟(jì)模型等。由于《課標(biāo)》沒有對(duì)“結(jié)構(gòu)模型”作出具體闡述，在教學(xué)實(shí)踐中，一線教師往往都將數(shù)學(xué)建模作為計(jì)算思維培養(yǎng)的重要環(huán)節(jié)。
案 例 一
項(xiàng)目學(xué)習(xí)“BMI 指數(shù)測(cè)算”。情境描述如下：在國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)中，不僅測(cè)算身高、體重，還會(huì)測(cè)算體質(zhì)指數(shù)BMI。根據(jù)相關(guān)規(guī)定，BMI指數(shù)是用體重千克數(shù)除以身高米數(shù)的平方得出的數(shù)值，WHO規(guī)定了偏瘦、正常、偏胖的BMI 值范圍。要求畫出BMI 測(cè)算的流程圖，并編寫Python程序，能夠根據(jù)輸入的身高、體重值判斷偏瘦、正常還是偏胖。教師設(shè)計(jì)的教學(xué)流程如下：
①抽象與建模，確定BMI的計(jì)算公式，即完成BMI=體重值/身高值^2的數(shù)學(xué)建模；
②設(shè)計(jì)算法，畫出反映分支結(jié)構(gòu)的流程圖，并編寫程序；
③調(diào)試運(yùn)行，記錄運(yùn)行結(jié)果。
根據(jù)案例1預(yù)設(shè)的教學(xué)要求，學(xué)生以解決身邊真實(shí)問(wèn)題為目標(biāo)，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，學(xué)習(xí)算法的分支結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)計(jì)算思維的培養(yǎng)。對(duì)照《課標(biāo)》關(guān)于計(jì)算思維的描述，仍存在一些困惑：其一，①中關(guān)于BMI 指數(shù)的數(shù)學(xué)建模，是不是符合《課標(biāo)》中“建立結(jié)構(gòu)模型”的要求，這涉及“建立結(jié)構(gòu)模型”究竟是什么，及其與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系；其二，①中抽象與建模，只是針對(duì)WHO有關(guān)規(guī)定書寫了BMI計(jì)算公式及判別范圍，該過(guò)程是否達(dá)到了數(shù)學(xué)建模教學(xué)所要求的學(xué)習(xí)效果，這涉及什么是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的問(wèn)題；其三，②中分支結(jié)構(gòu)的運(yùn)用，是否也是一種建模，這涉及如何理解程序設(shè)計(jì)中的建模問(wèn)題。
數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模概念追溯
數(shù)學(xué)模型是將某事物系統(tǒng)的主要特征、主要關(guān)系經(jīng)抽象以后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地表達(dá)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)刻畫，可以是方程、函數(shù)乃至圖表或圖形。例如，BMI的計(jì)算公式就是描述人的健康狀況的一種數(shù)學(xué)刻畫，結(jié)果用分段函數(shù)表示人的體型胖瘦是否正常。
以數(shù)學(xué)模型為工具來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的方法稱為數(shù)學(xué)模型方法。數(shù)學(xué)模型具有概括性，現(xiàn)實(shí)世界的一些問(wèn)題可以歸納為某一成熟的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決。植樹問(wèn)題就是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型數(shù)學(xué)模型，通過(guò)該模型可以讓學(xué)生深刻理解并感悟全長(zhǎng)與間距、棵數(shù)與間隔數(shù)之間的關(guān)系。生活中許多例子可以歸結(jié)為植樹模型，如剪彩的人數(shù)和所得繩子的段數(shù)之間的關(guān)系、日歷中具體的日期和中間間隔的天數(shù)之間的關(guān)系都符合植樹模型。
數(shù)學(xué)模型方法也包括建立數(shù)學(xué)模型，即數(shù)學(xué)建模，就是將某一領(lǐng)域的具體問(wèn)題，經(jīng)過(guò)抽象、簡(jiǎn)化，明確變量和參數(shù)，依據(jù)某種規(guī)律建立變量和參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系（數(shù)學(xué)模型），然后求解問(wèn)題，并對(duì)此結(jié)果進(jìn)行解釋和驗(yàn)證，必要時(shí)還需要修正模型。如在案例1中，BMI模型的建立，就是依據(jù)健康醫(yī)學(xué)方面的知識(shí)并采集相關(guān)數(shù)據(jù)，運(yùn)用回歸分析等數(shù)學(xué)方法，提出假設(shè)，建立BMI指數(shù)與身高、體重的函數(shù)關(guān)系以及判別健康與否的分段函數(shù)，最后對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證。由此可知，在案例1中，學(xué)生并沒開展有關(guān)BMI的數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，而是直接引用了BMI的計(jì)算公式，教學(xué)設(shè)計(jì)中的數(shù)學(xué)建模只是一種問(wèn)題導(dǎo)入的情境素材，其本質(zhì)上是為了實(shí)現(xiàn)分支結(jié)構(gòu)教學(xué)目標(biāo)。
數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)要素之一。高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求：數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的一個(gè)過(guò)程，學(xué)生首先要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問(wèn)題，再用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題。學(xué)生需要經(jīng)歷以下過(guò)程：聯(lián)系生活實(shí)際，以數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、形成模型，通過(guò)數(shù)學(xué)的語(yǔ)言對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)確定、計(jì)算求解，對(duì)模型進(jìn)行結(jié)果檢驗(yàn)、模型改進(jìn)，解決實(shí)際問(wèn)題。
觀點(diǎn)1：數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)內(nèi)容之一。在數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)中，學(xué)生從現(xiàn)實(shí)世界中獲取有價(jià)值信息并進(jìn)行定量分析，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能以及思想方法表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，形成通過(guò)數(shù)量關(guān)系認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)，提高用數(shù)學(xué)思維發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的能力。
數(shù)學(xué)建模中的編程應(yīng)用分析
數(shù)學(xué)是人類對(duì)世界直觀感知、高度抽象以及理性認(rèn)識(shí)的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)建模則是應(yīng)用數(shù)學(xué)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界的重要紐帶。數(shù)學(xué)建模的發(fā)展從數(shù)學(xué)學(xué)科向計(jì)算機(jī)、生物、物理等領(lǐng)域滲透，幾乎涉及人類所有的知識(shí)領(lǐng)域，成為這些學(xué)科不可或缺的必備工具。另外，計(jì)算機(jī)技術(shù)的應(yīng)用，也提高了數(shù)學(xué)建模的功效，運(yùn)用計(jì)算技術(shù)能夠更有效、快捷、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、理解問(wèn)題、解決問(wèn)題。無(wú)論是在模型假設(shè)階段還是在驗(yàn)證階段，計(jì)算機(jī)都可以幫助收集基本信息、基本數(shù)據(jù)，提供多種假設(shè)的可能性，快速驗(yàn)證假設(shè)的有效性。特別是在模型求解時(shí)，通過(guò)編制計(jì)算機(jī)程序，可以高速、準(zhǔn)確地求得模型的解，從而提高數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用效率。開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，融入編程及算法實(shí)現(xiàn)的教學(xué)內(nèi)容，既反映了計(jì)算機(jī)技術(shù)支持下數(shù)學(xué)建模解決問(wèn)題的真實(shí)現(xiàn)狀，也有利于通過(guò)跨學(xué)科學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力。
案 例 二
筆者早期主編的《數(shù)學(xué)建模與算法實(shí)現(xiàn)》一書中收錄的一個(gè)高中數(shù)字建模教學(xué)案例“籃球罰球投籃”。問(wèn)題情境如下：按照標(biāo)準(zhǔn)尺寸，罰球位置與籃框水平距離4.6米，籃框高3.05米，籃球直徑0.246米，質(zhì)量0.6千克，籃框直徑0.45米，討論怎樣的出手角度和出手速度可以使罰球投中成功率最高。學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)如下：
①分析問(wèn)題，簡(jiǎn)化條件，提煉關(guān)鍵信息，如不考慮籃球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)的空氣阻力和籃球自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的影響；
②分析籃球、球架、球框等參數(shù)關(guān)系，提出反映出手高度、出手速度、出手角度與上述參數(shù)之間關(guān)系的函數(shù)表達(dá)以及合理的數(shù)值范圍，即實(shí)現(xiàn)初步的數(shù)學(xué)建模；
③編制程序，采用循環(huán)方法，針對(duì)不同的出手高度和出手速度，計(jì)算合理的出手角度，記錄數(shù)據(jù)；
④應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，分析數(shù)據(jù)，得到若干結(jié)論，如隨著出手速度的增加，出手高度對(duì)出手角度的影響變小。
比較案例1和案例2可以發(fā)現(xiàn)，案例2中的學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，將身邊的一個(gè)非純數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題并用數(shù)學(xué)方法解決。教學(xué)過(guò)程主要體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，計(jì)算思維支持學(xué)生自如地使用編程工具解決數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的計(jì)算問(wèn)題。在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中，要求學(xué)生已經(jīng)掌握了循環(huán)結(jié)構(gòu)的編程技能，能夠以編程技術(shù)為工具獲得投籃命中的出手高度、出手速度、出手角度相關(guān)數(shù)據(jù)供分析。因?yàn)槿绻麑W(xué)生不具備相應(yīng)的編程技能，就會(huì)出現(xiàn)兩方面的問(wèn)題：其一，學(xué)生在數(shù)學(xué)建模的問(wèn)題解決過(guò)程中，難以主動(dòng)意識(shí)到用編程的方法產(chǎn)生數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；其二，學(xué)習(xí)編程技能所需要的時(shí)間成本開銷可能會(huì)沖淡數(shù)學(xué)建模教學(xué)的連貫性。
觀點(diǎn)2：案例2是以數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)為教學(xué)主線，編程技術(shù)是教學(xué)實(shí)施環(huán)節(jié)中的一種支持工具。在這一類教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生計(jì)算思維的培養(yǎng)主要體現(xiàn)在計(jì)算學(xué)科思想方法應(yīng)用的意識(shí)建立和熟練應(yīng)用方面，而應(yīng)用意識(shí)的養(yǎng)成是以掌握學(xué)科方法為前提的。
計(jì)算學(xué)科中的模型與建模
模型方法就是根據(jù)研究要求，舍棄次要的、非本質(zhì)的因素，抓住主要的、本質(zhì)的因素，建立一個(gè)便于研究、能反映研究對(duì)象目標(biāo)要求的新形象。模型方法并不是數(shù)學(xué)學(xué)科所獨(dú)有的，如知識(shí)管理專業(yè)就用DIKW模型描述從數(shù)據(jù)、信息、知識(shí)到智慧的進(jìn)階關(guān)系。由于專業(yè)視角不同，模型也有局限性，如DI KW強(qiáng)調(diào)從數(shù)據(jù)中獲取信息，而不強(qiáng)調(diào)客觀世界的本體信息用數(shù)據(jù)表征的過(guò)程。在計(jì)算學(xué)科，建立模型就是運(yùn)用模型方法表達(dá)出一般化的計(jì)算方法或計(jì)算過(guò)程。計(jì)算思維作為一種學(xué)科思維，支持計(jì)算學(xué)科的建模過(guò)程。
因此，運(yùn)用模型方法可以簡(jiǎn)潔地表示計(jì)算學(xué)科的基本原理和工作模式。例如，由CPU、存儲(chǔ)器、I/O及接口、三種總線等組成的一般化的計(jì)算機(jī)組織結(jié)構(gòu)，就是反映計(jì)算機(jī)工作原理的模型。依據(jù)該模型，可以解釋鍵盤輸入的鍵值通過(guò)I/O接口及總線讀入CPU，并根據(jù)需要存入內(nèi)存的工作過(guò)程。
模型具有層次性，不同層次需要用不同的模型來(lái)表述。在高級(jí)語(yǔ)言層次的模型，CPU不再被關(guān)注，重點(diǎn)反映的是數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)與處理流程。所以，程序設(shè)計(jì)所涉及的模型通常是一種反映自動(dòng)執(zhí)行序列的過(guò)程模型，這類模型的關(guān)鍵要素有數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、運(yùn)算公式和流程控制，具體是通過(guò)變量定義、賦值語(yǔ)句、控制語(yǔ)句來(lái)構(gòu)造自動(dòng)化的。
案 例 三
求1+2+……+100的累加和的編程教學(xué)。通常的教學(xué)過(guò)程如下：①問(wèn)題分析，確定采用s=s+i，i=1、2……100的循環(huán)累加方法；②確定循環(huán)初值、結(jié)束條件以及循環(huán)體的操作；③繪制流程圖，編寫程序。
累加求和是程序設(shè)計(jì)中的一種基礎(chǔ)算法。如在案例3中，變量s作為累加器，與變量i 相加后結(jié)果存回累加器s中；隨著i 的變化，該操作重復(fù)100次。案例3的教學(xué)過(guò)程，是學(xué)習(xí)用循環(huán)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)累加的算法，也是經(jīng)歷建模的過(guò)程，該模型由變量s和i、運(yùn)算公式s=s+i和i=i+1、循環(huán)控制結(jié)構(gòu)所確定。①完成了累加求和學(xué)科方法的初步認(rèn)識(shí)，②完成了累加求和算法的實(shí)施細(xì)節(jié)，③完成了用程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言表述該模型的構(gòu)造。從某種意義上說(shuō)，算法就是用于計(jì)算的一種過(guò)程模型，程序是該模型的一種形式化表達(dá)。
學(xué)生在掌握了累加求和算法后，遇到相類似的問(wèn)題，就可以用相同的算法或相似的建模方法來(lái)構(gòu)造程序。例如，對(duì)于連續(xù)輸入100個(gè)數(shù)，求該100個(gè)數(shù)之和這樣一個(gè)問(wèn)題，學(xué)生很容易通過(guò)遷移獲得解決問(wèn)題的方法。一般而言，學(xué)生面對(duì)問(wèn)題，可以遷移成熟算法的建模思想，或者將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為成熟算法問(wèn)題，最終實(shí)現(xiàn)計(jì)算。以上建模和化歸的應(yīng)用，都是計(jì)算思維的體現(xiàn)。
在案例1中，其教學(xué)目標(biāo)是通過(guò)BMI指數(shù)判別學(xué)習(xí)分支結(jié)構(gòu)。用建模的觀點(diǎn)分析案例1，可以發(fā)現(xiàn)，該教學(xué)可以使學(xué)生經(jīng)歷這樣一個(gè)建模過(guò)程，即建立一個(gè)由分支結(jié)構(gòu)、BMI計(jì)算公式以及相關(guān)參數(shù)變量組成的模型。同時(shí)，學(xué)生也形成這樣一種解決問(wèn)題的意識(shí)：凡是具有分段函數(shù)特征的問(wèn)題，都可以轉(zhuǎn)換為分支結(jié)構(gòu)的模型來(lái)實(shí)現(xiàn)可計(jì)算化。
觀點(diǎn)3：計(jì)算思維重點(diǎn)體現(xiàn)在個(gè)體是否具備將問(wèn)題可計(jì)算化的意識(shí)與能力，其中算法起到了很明顯的作用。算法作為一個(gè)成熟的模型，是運(yùn)用計(jì)算學(xué)科的思想和建模方法，將問(wèn)題一般化，經(jīng)過(guò)抽象以及形式化表達(dá)，并經(jīng)歷自動(dòng)化執(zhí)行驗(yàn)證所形成的。理解并運(yùn)用成熟算法，或經(jīng)歷算法形成的建模過(guò)程，都是良好的計(jì)算思維培養(yǎng)渠道。
編程教學(xué)與數(shù)學(xué)建模的融合
由于數(shù)學(xué)學(xué)科和計(jì)算學(xué)科的天然關(guān)聯(lián)，許多數(shù)學(xué)學(xué)科思想方法支持計(jì)算學(xué)科的發(fā)展。在算法與程序?qū)崿F(xiàn)中，往往可以直接使用成熟的數(shù)學(xué)模型，在案例1中，就是直接采用BMI模型作為程序的計(jì)算公式。這是因?yàn)樵S多數(shù)學(xué)模型具有確定性、符號(hào)性等特征，恰好與程序設(shè)計(jì)所需要的可計(jì)算要求相吻合。數(shù)學(xué)建模的思想方法也支持具有自動(dòng)化屬性的程序構(gòu)造，在案例3中，累加求和本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)思想的實(shí)現(xiàn)，只是在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、程序流程控制等方面有明顯的計(jì)算機(jī)技術(shù)特征。
案例3原本就是一個(gè)學(xué)習(xí)循環(huán)結(jié)構(gòu)的典型例題。從教學(xué)視角分析可以發(fā)現(xiàn)，該例題可以清晰地闡述循環(huán)結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵要素，如執(zhí)行累加操作的循環(huán)體、循環(huán)結(jié)束的判斷條件以及循環(huán)初值設(shè)定等。在教學(xué)過(guò)程中，可以清晰地闡述這些關(guān)鍵要素，幫助學(xué)生理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的編程應(yīng)用。
事實(shí)上，案例3 的教學(xué)情境并不是一個(gè)完全真實(shí)的應(yīng)用場(chǎng)景。作為一名程序員，如果要完成1+2+……+100這一類等差數(shù)列累加操作，一般不會(huì)采用累加求和的方法，而只要采用高斯定理s=(1+100)*100/50，僅需要一條賦值語(yǔ)句就可以高效地完成運(yùn)算。
如果在教學(xué)中，采用高斯定理編程實(shí)現(xiàn)，將會(huì)如何呢？當(dāng)然其教學(xué)目標(biāo)就不再是循環(huán)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)了。將1+2+……+100的計(jì)算，用s=(1+100)*100/50公式表示，這一過(guò)程本質(zhì)上也是數(shù)學(xué)建模，即用數(shù)學(xué)模型方法來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。在此教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生獲得的體驗(yàn)是：運(yùn)用成熟的數(shù)學(xué)模型結(jié)論可以清晰地形式化表達(dá)問(wèn)題，方便程序構(gòu)造，最后自動(dòng)化實(shí)現(xiàn)。
如果學(xué)生沒有高斯定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，那么，在教學(xué)中，教師就需要引導(dǎo)學(xué)生完成1+2+……+100求和的計(jì)算推導(dǎo)，即首先需要數(shù)學(xué)建模s=(1+100)*100/50，然后才程序?qū)崿F(xiàn)。在此教學(xué)過(guò)程中，雖然高斯定理的推導(dǎo)是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，但數(shù)學(xué)建模是為程序?qū)崿F(xiàn)服務(wù)的，經(jīng)歷這樣的過(guò)程，可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)建模對(duì)程序?qū)崿F(xiàn)的重要性，同時(shí)也感受到數(shù)學(xué)建模的思想方法可以遷移到程序?qū)崿F(xiàn)的應(yīng)用中。
案 例 四
遞推算法。主要教學(xué)過(guò)程如下：
①引入課題，分享斐波那契和兔子的故事；②分析兔子問(wèn)題，推導(dǎo)斐波那契數(shù)公式；③提出實(shí)際問(wèn)題：走道上有15塊地板，規(guī)定每步可以走一塊或兩塊地板，從第一塊走到最后一塊，共有幾種走法？最后得出符合斐波那契數(shù)公式的結(jié)論；④編寫程序并調(diào)試運(yùn)行；⑤歸納總結(jié)。
案例4預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)是：學(xué)會(huì)運(yùn)用遞推算法來(lái)解決實(shí)際生活問(wèn)題，培養(yǎng)計(jì)算思維。在實(shí)際教學(xué)中，因?yàn)閷W(xué)生沒有斐波那契數(shù)的認(rèn)知基礎(chǔ)，故花費(fèi)了大部分的課時(shí)來(lái)理解和推導(dǎo)斐波那契數(shù)公式，結(jié)果學(xué)生重點(diǎn)關(guān)注的是用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，缺乏體驗(yàn)到采用合理的算法構(gòu)造及程序?qū)崿F(xiàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)遞推的巧妙，同時(shí)也淡化了計(jì)算思維培養(yǎng)的實(shí)際效果。
觀點(diǎn)4：數(shù)學(xué)建模作為將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題經(jīng)抽象以后形式化表達(dá)的一種有效方式，在編程實(shí)現(xiàn)中有獨(dú)特的作用。編程教學(xué)是中小學(xué)計(jì)算思維培養(yǎng)的重要渠道，在計(jì)算思維教育中，需要正確理解數(shù)學(xué)建模的作用，合理運(yùn)用數(shù)學(xué)建模開展編程教學(xué)。
數(shù)學(xué)建模教學(xué)給計(jì)算思維教育的啟示
計(jì)算思維教育不在于宏大敘事，而在于教學(xué)細(xì)微之處的落實(shí)。數(shù)學(xué)建模的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)計(jì)算思維教育有啟示意義。程序設(shè)計(jì)的工作是通過(guò)問(wèn)題分析、構(gòu)造算法，最終形成可以自動(dòng)執(zhí)行的指令序列。程序設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)建模在方法上很相似。數(shù)學(xué)建模教學(xué)不滿足套用現(xiàn)成的數(shù)學(xué)公式解決問(wèn)題，而是強(qiáng)調(diào)學(xué)生在經(jīng)歷分析問(wèn)題、建立模型、確定參數(shù)、計(jì)算求解、檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型過(guò)程中自覺地用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界并發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題。編程及其算法教學(xué)可以借鑒數(shù)學(xué)建模的教學(xué)理念，不能僅以學(xué)會(huì)使用Python語(yǔ)言、冒泡算法或者調(diào)用庫(kù)函數(shù)實(shí)現(xiàn)人臉識(shí)別為目標(biāo)，而應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生形成用計(jì)算的觀點(diǎn)看待世界，形成將問(wèn)題可計(jì)算化的意識(shí)與能力。這也正是計(jì)算思維教育的目標(biāo)。
數(shù)學(xué)建模教學(xué)強(qiáng)調(diào)經(jīng)歷問(wèn)題解決的全過(guò)程，計(jì)算思維教育也一樣。任何理性的思維都是解決問(wèn)題的思維，在計(jì)算思維教育中，問(wèn)題解決僅是一個(gè)基礎(chǔ)性目標(biāo)，不能把所有的問(wèn)題解決都?xì)w為計(jì)算思維，關(guān)鍵在于是否采用計(jì)算學(xué)科的思想方法解決問(wèn)題。從數(shù)學(xué)建模與編程教學(xué)相融合的教學(xué)案例中可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)建模與程序?qū)崿F(xiàn)中的建模要求有相同也有不同。就模型類型而言，數(shù)學(xué)模型有函數(shù)模型、概率模型、幾何模型等，而程序設(shè)計(jì)通常是選擇合適的數(shù)學(xué)模型結(jié)果，并用程序語(yǔ)言描述的過(guò)程模型來(lái)實(shí)現(xiàn)，該過(guò)程模型的建立，是以自動(dòng)化實(shí)現(xiàn)為目標(biāo)的，是用形式化的方式精確表達(dá)的，具有符號(hào)性、離散性、確定性等特征，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)象控制和數(shù)據(jù)交換。
計(jì)算思維的培養(yǎng)不可能架空于計(jì)算學(xué)科知識(shí)與方法的學(xué)習(xí)而存在，個(gè)體對(duì)計(jì)算學(xué)科知識(shí)與方法的認(rèn)識(shí)深度也影響其計(jì)算思維形成的深刻性。計(jì)算機(jī)應(yīng)用的廣泛性，促使計(jì)算思維有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值，其教學(xué)形態(tài)往往是在與其他學(xué)科知識(shí)相結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題的場(chǎng)景下完成的，具有跨學(xué)科學(xué)習(xí)特征。
在本文中所列的數(shù)學(xué)建模與編程教學(xué)融合的案例中，數(shù)學(xué)學(xué)科和計(jì)算學(xué)科的思想方法也是相互交融互為支持的，但不同的案例所側(cè)重的教學(xué)目標(biāo)還是有差別的。以計(jì)算思維為培養(yǎng)目標(biāo)的編程教學(xué)，其相關(guān)教學(xué)需要符合計(jì)算學(xué)科的問(wèn)題解決脈絡(luò)，合理運(yùn)用計(jì)算學(xué)科知識(shí)與方法獲得可計(jì)算的形式化表達(dá)，設(shè)計(jì)算法以獲得可計(jì)算的構(gòu)造，不能以跨學(xué)科學(xué)習(xí)為理由來(lái)掩蓋對(duì)計(jì)算學(xué)科認(rèn)識(shí)的模糊。
（本文作者：王榮良，華東師范大學(xué)）
文章刊登于《中國(guó)信息技術(shù)教育》2022年第12期
